[MATLAB图像处理] MATLAB数字图像处理从入门到精通（持续更新）

[zhaoxch1983]

数字图像处理的方法有两类：空间域处理法和频域法。频域法首先是要将图像从空间域变换到频率域，然后在频率域对图像进行各种处理，再将所得到的结果进行反变换，从而达到图像处理的目的，频域法具有很多明显的优点。目前，频域变换被广泛运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像数据压缩和图像识别等领域。
（1）离散傅立叶变换（DFT）
离散傅立叶变换（DFT）在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛。使用离散傅立叶变换的根本原因有二：一是DFT的输入、输出均为离散形式的，这使得计算机非常容易操作；二是因为计算DFT存在快速算法，即快速傅立叶变换（FFT），因而计算比较方便。
空间域是由f(x,y)所组成的坐标系，其中x和y用作（空间）变量。频率系统是由F(u,v)所组成的坐标系，其中u和v用作（频率）变量。由u=0,1,2,…M-1和v=0,1,2,…N-1定义的M×N矩形区域常称为频率矩形。显然，频率矩形的大小与输入图像的大小相同。为了与MATLAB的实现形式相一致，将1/MN项放置于逆变换公式的前面。由于MATLAB中的数组索引是以1而不是以0开头的，所以MATLAB中的F(1,1)和f(1,1)相应于正变换和逆变换中的数字量F(0,0)和f(0,0)。在频域原点处变换值[如F(0,0)]称为傅立叶变换的直流（dc）分量，F(0,0)等于f(x,y)的平均值的MN倍。
MATLAB图像处理工具箱提供了一些函数来进行傅立叶变换：
① 函数：fft2——用于计算二维快速傅立叶变换。调用格式为：
Y = fft2(X)；
Y = fft2(X,M,N)；
其中X是输入图像矩阵，Y是X进行二维傅立叶变换后的图像矩阵；X和Y大小相同。在Y=fft2(X,M,N)中，按照M、N指定的值对图像进行剪切或补0后进行傅立叶变换,返回变换矩阵的大小为M×N。变换结果的左上、右上、左下、右下四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频成分。
② 函数：fftn——用于计算n维傅立叶变换。调用格式：
Y = fftn(X)；
Y = fftn(X,SIZE)；
其中Y=fftn(X)计算图像的n维傅立叶变换，输出图像Y与X大小相同。在Y=fftn(X,SIZE)函数中，按照SIZE指定的值对图像X进行剪切或补0后进行傅立叶变换，返回变换矩阵的大小为SIZE。
③ 函数：fftshift——将变换后的图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心。其调用格式为：
Y = fftshift(X)；
Y = fftshift(X,DIM)；
其中fftshift用于调整 fft、fft2和fftn的输出结果。对于向量X，将其左右两半交换位置，对于矩阵X，将其一、三象限和二、四象限进行互换，对于高维向量X，将矩阵各维的两半进行互换。利用这个函数可使变换结果的零频率分量位于中心。但应注意，在进行反变换时，必须使用四角代表低频成分，中央对应高频部分的变换结果。
④ 函数：ifft2——用于计算图像的二维傅立叶反变换。其调用格式为：
Y = ifft2(X)；
Y = ifft2(X,M,N)；
其中ifft2用于返回图像的二维傅立叶反变换矩阵，其参数定义同fft2。
⑤ 函数：ifftn——用于计算图像的n维傅立叶反变换。调用格式为：
Y = ifftn(X)；
Y = ifftn(X,SIZE)；
其参数定义同fftn。
实例：对某矩阵进行零填充后，进行快速傅立叶变换并显示其频谱。如图1.4.1所示。
f=zeros(30,30);
f(5:24,13:17)=1;
subplot(1,2,1),imshow(f);
F=fft2(f,256,256);
F2=fftshift(log(abs(F))); % 计算对数幅值并使零频率系数位于图形的中心
subplot(1,2,2),imshow(F2,[-1 5]);
colorbar;
（2）离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（DCT，Discrete Cosine Transform）的变换核为实数的余弦函数，因而DCT的计算速度要比变换核为复指数的DFT要快得多。离散余弦变换是仅次于K-L变换的次最佳正交变换，且有这样的性质：许多有关图像的重要可视信息都集中在DCT变换的一小部分系数中，因此已被广泛应用到图像压缩编码、语音信号处理等众多领域，并成为许多图像编码国际标准的核心。
MATLAB图像处理工具箱实现离散余弦变换有两种方法：其一是使用函数dct2，该函数用一个基于FFT的算法来提高当输入较大的输入方阵时的计算速度。其二是使用由dctmtx函数返回的DCT变换矩阵，这种方法较适合于较小的输入方阵（例如8×8或16×16）
提供DCT函数分别为：
① 函数：dct2——实现图像的二维离散余弦变换。调用格式为：
B = dct2(A)；
B = dct2(A,[M N])；
B = dct2(A,M,N)；
其中A表示要变换的图像，M和N是可选参数，表示填充后的图像矩阵大小，如果m和n比图像A小，则进行变换之前，将图像A进行剪切，B表示变换后得到的图像矩阵，各元素为离散余弦变换的系数B(k1,k2)。
② 函数：dctmtx——主要用于实现较小输入矩阵的离散余弦变换，调用格式为：D = dctmtx(N)，其中D是返回N×N的DCT变换矩阵，如果矩阵A是N×N方阵，则A的DCT变换可用D×A×D’来计算。这在有时比dct2计算快，特别是计算大量小的相同尺寸DCT时，矩阵D只需计算一次，因而速度快。
例如，在实现JPEG压缩时，要多次实现大小为8×8的图像块的DCT，为了实现这种变换，首先利用语句D=dctmtx(8)，然后，对每一个图像块执行运算B=D×A×D’。这种实现方法比调用函数dct2要快。
③ 函数：idct2——实现图像的二维离散余弦反变换。调用格式为：
B = idct2(A)；
B = idct2(A,[M N])；
B = idct2(A,M,N)；
其中参数同dct2。