[MATLAB基础] MATLAB应用大全 书连载

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5.3 函数的极限
极限理论是微积分学的理论基础。在MATLAB中，采用函数limit()计算数列或函数的极限，可以非常方便地进行极限运算。下面首先介绍极限的基本概念，然后介绍利用函数limit()求函数的极限。
5.3.1 极限的概念
数列的极限定义为：设 是数列， 是常数，若对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正整数 ，使得当 时，都有

则称数列 以 为极限，记作 。有极限的数列称为收敛数列。
【例5-17】 对于数列 ，当 时的变化趋势，代码如下：

clear all;
n=1:300;
x=n./(n+2); %数列
figure;
plot(n,x); %显示数列

运行程序后，输出结果如图5.11所示。由图5.11可知，随着 的增大，数列 与1非常接近。因此，可以得到结论：

【例5-18】 求当 时，函数 的变化趋势和极限，代码如下：

clear all;
x=linspace(-pi,pi,40);
y=sin(x)./x; %数列
figure;
plot(x,y,'r--') %显示数列

运行程序后，输出的结果如图5.12所示。由图5.12可知，当 时，函数 与1无限接近。由此可知：

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【例5-19】 求当 时，函数 的变化趋势和极限，代码如下：

clear all;
x=1:200;
y=(1+1./x).^x; %创建数列
figure;
plot(x,y) %显示数列

运行程序后，输出的结果如图5.13所示。由图5.13可知，当 时，函数 无限接近于常数 e（ e=2.71828）。

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5.3.2 求极限的函数
当 时，函数 以 为极限，称为函数 当 时以 为左极限，记作 。当 时，函数 以 为极限，称为函数 当 时以 为右极限，记作 。左极限和右极限统称为单侧极限。极限 存在且等于 的充分必要条件是左极限 与右极限 都存在且相等。
在MATLAB中，采用函数limit()求某个函数的极限，该函数的调用格式为：
 y=limit(f)：当 时，该函数对函数 求极限，返回值为求得的极限。系统默认设置为 。
 y=limit(f, x, a)或y=limit(f, a)：当 趋近于常数 时，即 ，该函数对函数 求极限，返回值为求得的极限。
 y=limit(f, x, a, 'left')：当 从左侧趋近于常数 时，即 ，该函数对函数 求极限，返回值为求得的左极限。
 y=limit(f, x, a, 'right')：当 右侧趋近于常数 时，即 ，该函数对函数 求极限，返回值为求得的右极限。
利用函数limit()求极限时，不同的调用方式对应的数学运算如表5.2所示。

【例5-20】 求极限 ，代码如下：

clear all;
syms x;
f=(3*x^2-1)/(3*x^2-2*x+3); %函数
y=limit(f,x,1) %x趋近于1时的极限

运行程序后，输出结果如下：

y =
1/2

程序运行后，该函数在 时，极限为1/2。
【例5-21】 求极限 ，代码如下：

clear all;
syms x;
f=x/(x-1)-2/(x^2-1); %函数
y=limit(f,x,1) %x趋近于1时的极限

运行程序后，输出结果如下：

y =
3/2

程序运行后，该函数在 时，其极限为3/2。
【例5-22】 求极限 ，代码如下：

clear all;
syms x;
f=sin(sin(x))/x; %函数
y=limit(f,x,0) %x趋近于0时的极限

运行程序后，输出结果如下：

y =
1

程序运行后，该函数在 时，其极限为1。

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5.4 本 章 小 结
本章对一些基本的数据分析进行了详细的介绍，主要包括多项式、插值和函数的极限。多项式的操作方法，主要包括多项式的建立、多项式求值、多项式乘法和除法、多项式求导、多项式展开和拟合等。插值函数，主要包括一维插值、二维插值、样条插值和高维插值等内容。利用MATLAB进行数据分析非常灵活，需要读者熟练掌握。