达芬奇问题求解

[yemaogong]

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。
1.1.1 1.1.2 变量说明
：兔子的速度（单位：码/秒）
：狼与兔子速度的倍数；
：狼的速度（单位：码/秒），显然有
：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）
：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），
：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），
Q ：表示在时刻t时，兔子的坐标
P ：表示在时刻t时，狼子的坐标

1.1.2 1.1.3 模型假设
1、 1、狼在追击过程中始终朝向兔子；
2、 2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为 。

1.1.3 1.1.4 模型建立
（一）建模准备
以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；
则显然有兔子位置的横坐标 。
对狼来说，当x＝100，y＝0，即
在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向，
则有


（二）建立模型
1、追击方向的讨论
由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P 点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截据为 。
设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为

（1）
在（1）中，令X＝0，则截据 。
此时 。

则此时截据等于兔子所跑过的路程，即：
，
从而可得
（2）
2、狼与兔子速度关系的建模
在t时刻，兔子跑过的路程为
（3）
由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为

（4）

狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。

（5）
联立（2）、（4）、（5）得

（6）
对（6）两边求对x的导数，化简得
（7）
微分方程（7）式的初始条件有：



3、是否追上的判断
要判定狼是否追上兔子，
可以通过（7）式判定。
对（7）式，
当x＝0，如果计算求解得到 ，则视为没有追上；
当x＝0，如果计算求解得到 ，则视为兔子被追上；

1.1.4 1.1.5 模型求解
由微分方程得到其Matlab函数
function yy=odefunlt(x,y)
%以狼在追击过程中的横坐标为自变量
yy(1,1)=y(2);
yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);

主程序：

tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x坐标为自变量
y0=[0 0];
%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离
[T,Y] = ode45('odefunlt',tspan,y0);
n=size(Y,1);
disp('狼的坐标(x=0.1)')
disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标


1.1.5 1.1.6 模型结果与分析
运行结果：

狼的坐标(x=0.1)
62.1932

通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。

1.1.6 1.1.7 思考题
通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？


（一）解决思路
可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。
模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：
function sim_langtu
%《狼兔追击问题》
%（离散模拟）
%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度
%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程

Q=[0 0];%兔子坐标
P=[100 0];%狼坐标
PQ=Q-P;%狼兔方向向量

step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确

count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量

trackP=P;
trackQ=Q;
for k=1:count;
P = P + 2*PQ;%2倍速度
Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量
PQ = Q - P;
trackP(1+k,=P;
trackQ(1+k,=Q;
PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量
dis= sqrt(sum((P-Q).^2));
plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+');
pause(0.5)
end%for
dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离
P %兔子到达窝边时，狼的坐标
Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标

（二）模拟程序运行结果

dis =
7.0619

P =
1.6805 53.1410

Q =
0 60
注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。
程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。