5.2 插 值
在数字信号处理和图像处理中，插值是极其常用的方法。MATLAB提供了大量的插值函数。在MATLAB中，插值函数保存在MATLAB工具箱的polyfun子目录下。下面对一维插值、二维插值、样条插值和高维插值分别进行介绍。
5.2.1 一维插值
一维插值是进行数据分析的重要方法，在MATLAB中，一维插值有基于多项式的插值和基于快速傅立叶的插值两种类型。一维插值就是对一维函数 进行插值。
1．一维多项式插值
在MATLAB中，一维多项式插值采用函数interp1()进行实现。函数interp1()使用多项式技术，用多项式函数通过提供的数据点来计算目标插值点上的插值函数值，其调用格式如下。
yi = interp1(x, y, xi)：其中x必须为向量，y可以是向量也可以是矩阵。如果y是向量，必须与x具有相同的长度，这时xi可以是标量、向量或矩阵，yi与xi具有相同的大小。如果y是矩阵，则其大小必须是 ，n为向量x的长度，函数对 组y值都进行插值。
yi = interp1(y, xi)：其中xi默认为1：n，n为向量y的长度length(y)。
yi = interp1(x, y, xi, method)：其中输入变量method用于指定插值的方法，默认方法为线性插值（'linear'）。
yi = interp1(x, y, xi, method,'extrap')：对超出数据范围的插值数据指定外推方法'extrap'。
yi = interp1(x, y, xi, method, extrapval)：对超出数据范围的插值数据返回extrapval值，一般设置为NaN或0。
一维插值可以采用的方法如下。
临近点插值（Nearest neighbor interpolation）：设置method ='nearest'，这种插值方法在已知数据的最邻近点设置插值点，对插值点的数采用四舍五入的方法。对超出范围的点将返回一个NaN（Not a Number）。
线性插值（Linear interpolation）：设置method = 'linear'，该方法采用直线连接相邻的两点，为MATLAB系统中采用的默认方法。对超出范围的点将返回NaN。
三次样条插值（Cubic spline interpolation）：设置method = 'spline'，该方法采用三次样条函数来获得插值点。
分段三次Hermite插值（Piecewise cubic Hermite interpolation）：设置method ='pchip'。
三次多项式插值：设置method ='cubic'，与分段三次Hermite插值相同。
MATLAB5中使用的三次多项式插值：设置method = 'v5cubic'，该方法使用一个三次多项式函数对已知数据进行拟合。
【例5-12】 已知当x=0:0.2:2时，函数 的值，对xi=0:0.03:2采用不同的方法进行插值。其实现的MATLAB代码如下：
>> clear all;
x=0:0.2:2;
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-3*x).*sin(x);
xi=0:0.03:2; %要插值的数据
yi_nearest=interp1(x,y,xi,'nearest'); %临近点插值
yi_linear=interp1(x,y,xi); %默认为线性插值
yi_spine=interp1(x,y,xi,'spine'); %三次样条插值
yi_pchip=interp1(x,y,xi,'pchip'); %分段三次Hermite插值
yi_v5cubic=interp1(x,y,xi,'v5cubic'); %MATLAB5中三次多项式插值
figure; %画图显示
hold on;
subplot(231);
plot(x,y,'ro'); %绘制数据点
title('已知数据点');
subplot(232);
plot(x,y,'ro',xi,yi_nearest,'b-'); %绘制临近点插值的结果
title('临近点插值');
subplot(233);
plot(x,y,'ro',xi,yi_linear,'b-'); %绘制线性插值的结果
title('线性插值');
subplot(234);
plot(x,y,'ro',xi,yi_spine,'b-'); %绘制三次样条插值的结果
title('三次样条插值');
subplot(235);
plot(x,y,'ro',xi,yi_pchip,'b-'); %绘制分段三次Hermite插值的结果
title('分段三次Hermite插值');
subplot(236);
plot(x,y,'ro',xi,yi_v5cubic,'b-'); %绘制MATLAB5中三次多项式插值的结果
title('MATLAB5中三次多项式插值');
运行程序后，对数据采用不同的插值方法，输出结果如图5.6所示。由图5.6可以看出，采用临近点插值时，数据的平滑性最差，得到的数据不连续。
