[pslpsl]

二、拟合
曲线拟合
已知离散点上的数据集 ，即已知在点集 上的函数值 ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使 在原离散点 上尽可能接近给定的 值，这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数 使得 最小。
MATLAB函数：p=polyfit(x,y,n)
[p,s]= polyfit(x,y,n)
说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)
多项式曲线求值函数：polyval( )
调用格式： y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。
例5：求如下给定数据的拟合曲线，
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
计算结果为：
p =0.5614 0.8287 1.1560
此结果表示拟合函数为：



例2：由离散数据
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2

拟合出多项式。
程序：
x=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]
n=3;
p=polyfit(x,y,n)
xi=linspace(0,1,100);
z=polyval(p,xi); %多项式求值
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’)
legend(‘原始数据’,’3阶曲线’)
结果：
p =
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035


例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)
程序：
x=1:20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,6)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
结果：
p =
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304

再用10阶多项式拟合
程序：x=1:20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,10)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
结果：p =
Columns 1 through 7
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
Columns 8 through 11
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.267


可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
作业：
1．已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1]，y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5]，利用其中的部分数据，分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。
2．已知二元函数 在点集 上的值为 ，其中，左上角位置表示 ，右下角位置表示 ，求该数据集的插值曲面。
3．已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3]，y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5]，求对x，y分别进行4，5，6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。
4．学习函数interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method)，对MATLAB提供的flow数据实现三维插值。