byron0729
2011-01-05, 00:29
以下問題都要做圖出來....
一. 設Hn為n階 Hilbert matrix， 為n維向量，其中(bn)i= j=1:n aij (意指bn的第i個
元素是Hn第i列元素的和), n= 5, 10, 15, 20.
(a) 請用Gaussian Elimination解 .
(b) 將所得的計算解Xc和真解X做比較，列出 relative forward error,
relative backward error, error magnification factor和 condition number 並
討論之。
二.給一個函數f(x)=1+5x-6x^3-e^2x
(a)導出三個不同的 g(x) 函數，使得 g(x) 的定點就是 f(x) 的根
(b)測試這三個不同的 Fixed Point Iteration
1.至少要找到一個根到小數點以下六位正確
2.比較這三個方法之優劣
3.你的實驗值和理論值 g’(r) 合不合?
三.給一個多項式 P(x)=12x^4-16x^3-11x^2+14x-3
(a)請修改 nested multiplication 程式，成為 synthetic division 程式，使之能求
P(a) 外，還能保留 P(x)/(x-a) 之商多項式的係數。利用此程式及 Descartes Rule
of Signs 觀念，找出包含所有根的 interval [a, b], 其中 a, b 為整數。
(b) 用以下三種方法分別求出所有的根，並比較它們的收斂速率。
1. Bisection Method
2. Newton’s Method
3. Secant Method
注意：一定要用 (a) 中之 nested multiplication 或 synthetic division 方式
來求 P(a) 及 P'(a)
四. 用matlab畫出過 (2,3), (1,6), (2,2), (3,1) 四點之 natural cubic spline 和
p3(X )多項式的圖，並比較兩種內插結果(需做圖比較結果)
五. 把sin1改寫成cos1，計算餘弦函數
(1). 判斷計算用的 fundamental domain
(2). 用等距離的節點及 Newton divided difference 法, 求近似 cos(x )三次和五次
多項式, 用繪圖表示 cos(x ),
(3). 畫出此二多項式之error function的圖並比較之
(4). 改用Chebyshev nodes當節點, 重作 (2), 並與 (2)之結果相比較
六. 用jacobi法求解稀疏矩陣系統到六位小數正確(取前向誤差的無限範數)，其中n=100
和。正確解應為 [-1,-1,...,-1]紀錄需要幾次迭代及後向誤差的大小，其線性系統為
對角線的數字都為3，其餘的為-1，跟 [x1,x2...xn]相乘=[2,1,1,...,1,2]之後再用sor
法，w=1.5，重 做電腦演算
一. 設Hn為n階 Hilbert matrix， 為n維向量，其中(bn)i= j=1:n aij (意指bn的第i個
元素是Hn第i列元素的和), n= 5, 10, 15, 20.
(a) 請用Gaussian Elimination解 .
(b) 將所得的計算解Xc和真解X做比較，列出 relative forward error,
relative backward error, error magnification factor和 condition number 並
討論之。
二.給一個函數f(x)=1+5x-6x^3-e^2x
(a)導出三個不同的 g(x) 函數，使得 g(x) 的定點就是 f(x) 的根
(b)測試這三個不同的 Fixed Point Iteration
1.至少要找到一個根到小數點以下六位正確
2.比較這三個方法之優劣
3.你的實驗值和理論值 g’(r) 合不合?
三.給一個多項式 P(x)=12x^4-16x^3-11x^2+14x-3
(a)請修改 nested multiplication 程式，成為 synthetic division 程式，使之能求
P(a) 外，還能保留 P(x)/(x-a) 之商多項式的係數。利用此程式及 Descartes Rule
of Signs 觀念，找出包含所有根的 interval [a, b], 其中 a, b 為整數。
(b) 用以下三種方法分別求出所有的根，並比較它們的收斂速率。
1. Bisection Method
2. Newton’s Method
3. Secant Method
注意：一定要用 (a) 中之 nested multiplication 或 synthetic division 方式
來求 P(a) 及 P'(a)
四. 用matlab畫出過 (2,3), (1,6), (2,2), (3,1) 四點之 natural cubic spline 和
p3(X )多項式的圖，並比較兩種內插結果(需做圖比較結果)
五. 把sin1改寫成cos1，計算餘弦函數
(1). 判斷計算用的 fundamental domain
(2). 用等距離的節點及 Newton divided difference 法, 求近似 cos(x )三次和五次
多項式, 用繪圖表示 cos(x ),
(3). 畫出此二多項式之error function的圖並比較之
(4). 改用Chebyshev nodes當節點, 重作 (2), 並與 (2)之結果相比較
六. 用jacobi法求解稀疏矩陣系統到六位小數正確(取前向誤差的無限範數)，其中n=100
和。正確解應為 [-1,-1,...,-1]紀錄需要幾次迭代及後向誤差的大小，其線性系統為
對角線的數字都為3，其餘的為-1，跟 [x1,x2...xn]相乘=[2,1,1,...,1,2]之後再用sor
法，w=1.5，重 做電腦演算